Matrice
Une matrice est un tableau d’éléments ordonnés.
Éléments
Les éléments d'une matrice sont disposés sur i lignes et j colonnes, représentants la dimension de la matrice :
Transposée
Transposer une matrice consiste à échanger les lignes et les colonnes :
Identité
Matrice carrée dont tous les éléments de sa diagonale sont 1 et les autres 0 :
Déterminant
Scalaire fournissant des informations sur les propriétés d'une matrice carrée.
2x2
Pour calculer le déterminant d'une matrice 2x2 :
3x3
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3x3 :
Transformations
Il y a trois types de transformation : échelle, rotation, et translation.
Translation
Pour appliquer une translation :
Rotation
Pour appliquer une rotation.
Axes
Sur l'un des 3 axes :
Axe arbitraire
Sur un axe arbitraire :
L'axe doit être normalisé.
Échelle
Pour appliquer un changement de taille :
Projection
Consiste à faire correspondre un point d’une surface (environnement 3D) à un point d’une autre surface (contenu de fenêtre 2D).
Orthogonale
Cette matrice de projection est principalement utilisée pour afficher un environnement 2D.
La matrice orthogonale O est composée à partir de la position des bordures gauche l, droite r, dessus t, et dessous b du plan rapproché n et du plan éloigné f :
La matrice a été transposée afin de respecter le format de la bibliothèque OpenGL.
Si l'origine est située dans le coin supérieur gauche et que les plans rapproché n et éloigné f sont 1 et -1, la matrice orthogonale O peut être simplifiée :
Perspective
Cette matrice de projection est principalement utilisée pour afficher un environnement 3D.
La matrice de perspective P est composée à partir des positions des bordures gauche l, droite r, dessus t, et dessous b, du plan rapproché n et du plan éloigné f :
La matrice a été transposée afin de respecter le format de la bibliothèque OpenGL.
Si le plan rapproché n est centré à l'origine, la matrice de perspective P peut être simplifiée :
Frustum
La perspective a la forme d'un frustum (pyramide à base rectangulaire tronquée) et son contenu sera projeté sur son plan rapproché n :
Vue du dessus, avec l'angle du champ de vision horizontal :
Le terme mnémotechnique « SOHCAHTOA » permet de retenir facilement les relations trigonométriques :
Puisque nous déterminons 2 de ces mesures : le côté adjacent, soit le plan rapproché n, et l'angle, soit le champ de vision fov divisé par 2, il est possible d'isoler le côté opposé pour obtenir la bordure de droite r :
Et puisque nous déterminons la largeur et la hauteur du moteur de rendu, et que nous connaissons maintenant la bordure de droite r, la règle de trois nous permet de déduire la bordure du haut t :
Vue
La matrice de vue V est composée à partir des vecteurs de côté s, du haut u, et du devant f :
